　ってことを宣言させてもらうよん。そもそもRATING MASTERってのはオンゲキのMAX RATINGが17.00に達した人のことを言うんだけど、おじさんはそれになりたいわけ。だから、あえて自分に重たいプレッシャーをかけるためにここから100日でレマスになることを宣言する。で、今回はそのための作戦会議～って感じでこのブログを書いてるわけ。

　最近は先生が新しく作ったブログで活動してたから京音ブログは久しぶりだね、まあそんなことはどうでもいいや。早速始めよっか。

2023-09-25

【短編】TwitterもといXの悲しい改悪について

　現在明日リリースされるシャドバの新弾のカードリストを見ながらこの記事を書いてます。*1げんぶです。(Twitter: @G_en_bu )

　先日TwitterがXに改名されたことで色々と話題になりましたが、改名によってある弊害が生まれています。

*1:第30弾カードパック「オーダーシフト」、9/26リリース！

2023-09-20

(個人的)おいしいお菓子ランキング

3位岩塚製菓 味しらべ

ちょっと甘くてかつちゃんと塩を感じるのがとても美味しい。

ハッピーターンみたいに味付け用の粉がたくさん付いてるのが好き。

2023-09-19

2023前期に作った音ゲークイズ企画まとめ

音ゲー

どうも、音ゲークイズ企画魔人の852と申します。京大音ゲーサークル京音でも対面で例会ができるようになり、それに伴ってクイズ企画もたくさんできるようになりました。今回は前期(4月～9月)行った企画について解説してまいります。音ゲーサークルでクイズ企画がしたい皆さんはもちろん、他オタクサークルでクイズ企画をやってみたい皆さんにも参考にしていただけますと幸いです。

0.自己紹介
1.音ゲークイズ読ませマス(4月例会)
- 1.1.概要
- 1.2.狙い・動機
- 1.3.制作にあたって
- 1.4.感想
2.音ゲー歌詞クイズ(4月例会)
- 2.1.概要
- 2.2.狙い・動機
- 2.3.制作にあたって
- 2.4.感想
3.イントロクイズ(都サーバー)
- 3.1.概要
- 3.2.狙い・動機
- 3.3.制作にあたって
- 3.4.感想
4.逆張りクイズ(6月例会)
- 4.1.概要
- 4.2.狙い・動機
- 4.3.制作にあたって
- 4.4.感想
5.時事王(裏都18th)
- 5.1.概要
- 5.2.狙い・動機
- 5.3.制作にあたって
- 5.4.感想
6.終わりに

2023-09-17

面積が5かつすべての辺が有理数となる直角三角形の見つけ方

こんにちは。ヒトデマンです。楕円曲線論のさわりに書かれてた話が面白かったのでブログに書いてみました。テキストは

https://people.cs.nctu.edu.tw/~rjchen/ECC2012S/Elliptic%20Curves%20Number%20Theory%20And%20Cryptography%202n.pdf

にあるので興味ある人はぜひ読んでみてください。俺はまだ2章までしか読めてない。

突然ですが問題です。面積が $6$ になるようなすべての辺が有理数となる直角三角形は存在するでしょうか。

これは簡単ですね。辺の長さが $(3,4,5)$ となるような直角三角形が存在することは、理系で大学受験をしてきた方にとっては有名事実だと思います。では、次の問題はどうでしょうか？

面積が $5$ になるようなすべての辺が有理数となる直角三角形は存在するでしょうか。

これはぱっと考えても分からない人がいるかもしれません。もちろん、全ての辺が整数になるような直角三角形は存在しません。なぜなら、直角を挟んだ辺の長さを $a,b$ としたときに $ab=10$ となるような直角三角形の辺の長さは $(2,5,\sqrt{29}),(1,10,\sqrt{101})$ しかないからです。

逆に、整数でないからと言って面積が整数にならないとは限りません。 $(8,15,17)$ （これも有名な直角三角形の形です）の各辺の長さを半分にした $(4,15/2,17/2)$ の面積は $15$ であり、これは整数です。

さて、求める直角三角形の辺の長さを $(a,b,c)$ とします。三平方の定理と面積の制約から、

$a^2+b^2=c^2,ab=10$

が成り立ちます。この二つの式から

$\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2=\dfrac{a^2+b^2+2ab}{4}=\dfrac{c^2+20}{4}=\left(\dfrac{c}{2}\right)^2+5$

$\left(\dfrac{a-b}{2}\right)^2=\dfrac{a^2+b^2-2ab}{4}=\dfrac{c^2-20}{4}=\left(\dfrac{c}{2}\right)^2-5$

となります。

$x=\left(\dfrac{c}{2}\right)^2$ と置き換えると、

$\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2=x+5$

$\left(\dfrac{a-b}{2}\right)^2=x-5$

となります。ここでわかることがあります。それは、 $x-5,x,x+5$ が全て有理数の二乗になることです。

さらに、これらの積も有理数の二乗になります。すなわち、ある有理数 $y$ について

$y^2=x(x+5)(x-5)=x^3-25x\tag{A}$ 　

が成り立ちます。ここで

$y=(x(x+5)(x-5))^\frac{1}{2}=\dfrac{c(a-b)(a+b)}{8}=\dfrac{c(a^2-b^2)}{8}\tag{B}$

です(後で使います。)

さて、(A)の解として自明ではないものとして、 $(x,y)=(-4,6)$ があります。（ここに多少の天啓が働きます）

次に、 $(-4,6)$ での接線と(A)が交わる点を考えます。

(A)の両辺を微分すると

$2yy'=3x^2-25$ となるので $(4,6)$ を代入してこれを解くと $y'=23/12$ となります。

よって $(-4,6)$ での接線の式は $\dfrac{23}{12}x+\dfrac{41}{3}$ となります。したがって、

$\left(\dfrac{23}{12}x+\dfrac{41}{3}\right)^2=x^3-25x$ を解けばいいことが分かります。 $x=-4$ が重解であることに着目すると、解と係数の関係から残りの解は $\left(\dfrac{41}{3}\right)^2\div(-4)^2=\left(\dfrac{41}{12}\right)^2$ となることがわかります。これを接線の式に代入すると、 $y=62279/1728$ となります。 $x=\left(\dfrac{c}{2}\right)^2$ から $c=41/6$ です。(B)より $a^2-b^2=1519/36,a^2+b^2=c^2=1681/36$ です。この値から $a,b$ を求めることができます。実際は $a=20/3,b=3/2,c=41/6$ となります。これは $(40,9,41)$ の各辺を $1/6$ 倍したものとなります。

もちろんほかにいい求め方があるかもしれませんが、(あったら教えてください)(A)の式を用いることでほかにも条件を満たすような直角三角形をシステマチックに見つけることができる、というのが重要なポイントです。結局一つ見つけるためには天啓が降ってくる必要があるというのはそれはそうなんですが...。ちなみに面積が $7$ の場合も同様の立式で $(x,y)=(25,120)$ から求められます。

ある自然数 $n$ に対して面積が $n$ かつすべての辺の長さが有理数となる直角三角形があるか？という問題をcongruent number problemというらしいです。n=157の場合が頭おかしいという話は一時期話題になっていましたね

何を食べたらこんなの見つかるんだ…

図はtsujimotterさんのブログから拝借しています。こちらの話も興味深いです。

tsujimotter.hatenablog.com

整数論はシンプルに見えて沼というのが垣間見えます。ではまた。

京音メンバーの日記

日記。

【入会方法等はこちら】「京音」について

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