面積が5かつすべての辺が有理数となる直角三角形の見つけ方

こんにちは。ヒトデマンです。楕円曲線論のさわりに書かれてた話が面白かったのでブログに書いてみました。テキストは

https://people.cs.nctu.edu.tw/~rjchen/ECC2012S/Elliptic%20Curves%20Number%20Theory%20And%20Cryptography%202n.pdf

にあるので興味ある人はぜひ読んでみてください。俺はまだ2章までしか読めてない。

突然ですが問題です。面積が $6$ になるようなすべての辺が有理数となる直角三角形は存在するでしょうか。

これは簡単ですね。辺の長さが $(3,4,5)$ となるような直角三角形が存在することは、理系で大学受験をしてきた方にとっては有名事実だと思います。では、次の問題はどうでしょうか？

面積が $5$ になるようなすべての辺が有理数となる直角三角形は存在するでしょうか。

これはぱっと考えても分からない人がいるかもしれません。もちろん、全ての辺が整数になるような直角三角形は存在しません。なぜなら、直角を挟んだ辺の長さを $a,b$ としたときに $ab=10$ となるような直角三角形の辺の長さは $(2,5,\sqrt{29}),(1,10,\sqrt{101})$ しかないからです。

逆に、整数でないからと言って面積が整数にならないとは限りません。 $(8,15,17)$ （これも有名な直角三角形の形です）の各辺の長さを半分にした $(4,15/2,17/2)$ の面積は $15$ であり、これは整数です。

さて、求める直角三角形の辺の長さを $(a,b,c)$ とします。三平方の定理と面積の制約から、

$a^2+b^2=c^2,ab=10$

が成り立ちます。この二つの式から

$\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2=\dfrac{a^2+b^2+2ab}{4}=\dfrac{c^2+20}{4}=\left(\dfrac{c}{2}\right)^2+5$

$\left(\dfrac{a-b}{2}\right)^2=\dfrac{a^2+b^2-2ab}{4}=\dfrac{c^2-20}{4}=\left(\dfrac{c}{2}\right)^2-5$

となります。

$x=\left(\dfrac{c}{2}\right)^2$ と置き換えると、

$\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2=x+5$

$\left(\dfrac{a-b}{2}\right)^2=x-5$

となります。ここでわかることがあります。それは、 $x-5,x,x+5$ が全て有理数の二乗になることです。

さらに、これらの積も有理数の二乗になります。すなわち、ある有理数 $y$ について

$y^2=x(x+5)(x-5)=x^3-25x\tag{A}$ 　

が成り立ちます。ここで

$y=(x(x+5)(x-5))^\frac{1}{2}=\dfrac{c(a-b)(a+b)}{8}=\dfrac{c(a^2-b^2)}{8}\tag{B}$

です(後で使います。)

さて、(A)の解として自明ではないものとして、 $(x,y)=(-4,6)$ があります。（ここに多少の天啓が働きます）

次に、 $(-4,6)$ での接線と(A)が交わる点を考えます。

(A)の両辺を微分すると

$2yy'=3x^2-25$ となるので $(4,6)$ を代入してこれを解くと $y'=23/12$ となります。

よって $(-4,6)$ での接線の式は $\dfrac{23}{12}x+\dfrac{41}{3}$ となります。したがって、

$\left(\dfrac{23}{12}x+\dfrac{41}{3}\right)^2=x^3-25x$ を解けばいいことが分かります。 $x=-4$ が重解であることに着目すると、解と係数の関係から残りの解は $\left(\dfrac{41}{3}\right)^2\div(-4)^2=\left(\dfrac{41}{12}\right)^2$ となることがわかります。これを接線の式に代入すると、 $y=62279/1728$ となります。 $x=\left(\dfrac{c}{2}\right)^2$ から $c=41/6$ です。(B)より $a^2-b^2=1519/36,a^2+b^2=c^2=1681/36$ です。この値から $a,b$ を求めることができます。実際は $a=20/3,b=3/2,c=41/6$ となります。これは $(40,9,41)$ の各辺を $1/6$ 倍したものとなります。

もちろんほかにいい求め方があるかもしれませんが、(あったら教えてください)(A)の式を用いることでほかにも条件を満たすような直角三角形をシステマチックに見つけることができる、というのが重要なポイントです。結局一つ見つけるためには天啓が降ってくる必要があるというのはそれはそうなんですが...。ちなみに面積が $7$ の場合も同様の立式で $(x,y)=(25,120)$ から求められます。